Euclide et Thalès

, par DELISLE Robin, Collège Paul Bert, Malakoff


Euclide est un des mathématiciens les plus connus de l'Antiquité. Son oeuvre majeure est  Les Eléments., un traité de géométrie.
On connaît peu de la vie d'Euclide si ce n'est qu'il enseigna à Alexandrie en Egypte.Les Eléments sont une compilation du savoir géométrique et demeurérent le coeur de l'enseignement mathématique pendant près de 2000 années.
Les Eléments
débutent par des définitions et des axiomes, en particulier le célèbre cinquième postulat des parallèles, qui déclare que par un point existe une unique parallèle à une droite donnée.

Παράλληλοί εἰσιν εὐθεῖαι, αἵτινες ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ οὖσαι καὶ ἐκβαλλόμεναι εἰς ἄπειρον ἐφ' ἑκάτερα τὰ μέρη ἐπὶ μηδ ἕτερα
συμπίπτουσιν ἀλλήλαις.
1. οὖσαι = étant (participe présent féminin du verbe être)
2. ἐπί + accusatif signifie "sur"
3. τὰ μέρη est un neutre pluriel à l'accusatif

Texte à traduire à l'issue de la leçon.

Les Eléments sont composés de  13 livres. Les livres 1 à 6, géométrie plane, les livres 7 à 9, théorie des rapports, le livre 10, la théorie de nombres irrationnels d'Eudoxe, et enfin les livres 11 à 13 la géométrie dans l'espace. Le livre finit par l'étude des propriétés des cinq polyèdres réguliers et une démonstration de leur existence. Les Eléments sont impressionnants par la clarté avec laquelle les théorèmes sont énoncés et démontrés.

Voici les 16 premières définitions...

1.Σημεῖόν ἐστιν, οὗ μέρος οὐθέν.
2.Γραμμὴ δὲ μῆκος ἀπλατές [ἐστιν].
3.Γραμμῆς δὲ πέρατα σημεῖα [ἐστιν].
4.Εὐθεῖα γραμμή ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς ἐφ' ἑαυτῆς σημείοις κεῖται.
5.Ἐπιφάνεια δέ ἐστιν, μῆκος καὶ πλάτος μόνον ἔχει.
6.Ἐπιφανείας δὲ πέρατα γραμμαί [ἐστιν].
7.Ἐπίπεδος ἐπιφάνειά ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου ταῖς ἐφ' ἑαυτῆς εὐθείαις κεῖται.
8.Ἐπίπεδος δὲ γωνία ἐστὶν ἡ ἐν ἐπιπέδῳ δύο γραμμῶν ἁπτομένων ἀλλήλων καὶ μὴ ἐπ' εὐθείας κειμένων πρὸς ἀλλήλας τῶν γραμμῶν κλίσις.
9. Ὅταν δὲ αἱ περιέχουσαι τὴν γωνίαν γραμμαὶ εὐθεῖαι ὦσιν, εὐθύγραμμος καλεῖται ἡ γωνία.
11. Ἀμβλεῖα γωνία ἐστὶν ἡ μείζων ὀρθῆς.
12. Ὀξεῖα δὲ ἡ ἐλάσσων ὀρθῆς [ἐστιν].
13. Ὅρος ἐστίν,τινός ἐστι πέρας.
14. Σχῆμά ἐστι τὸ ὑπό τινοςτινων ὅρων περιεχόμενον.
15. Κύκλος ἐστὶ σχῆμα ἐπίπεδον ὑπὸ μιᾶς γραμμῆς περιεχόμενον [ καλεῖται περιφέρεια], πρὸς ἣν ἀφ' ἑνὸς σημείου τῶν ἐντὸς τοῦ σχήματος κειμένων πᾶσαι αἱ προσπίπτουσαι εὐθεῖαι [πρὸς τὴν τοῦ κύκλου περιφέρειαν] ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
16. Κέντρον δὲ τοῦ κύκλου τὸ σημεῖον καλεῖται.

Traduire le texte en s'aidant du vocabulaire et du tableau grammatical.
Demander des explications au professeur de mathématiques.



 Julien Elie dit "Iulius" sur les forums de langues anciennes propose sa propre traduction sur son site "Trigofacile".

Vocabulaire

Noms
Adjectifs
Pronoms
Verbes
γραμμὴ, -ῆς (ἡ) une ligne
γωνία, -ης (ἡ) un angle
δίαμετρος, -ου (ἡ) le diamètre
ἐπιφανεία, -ας (ἡ) la surface
κεντρον, -ου (τὸ) le centre
κύκλος, -ου (ὁ) le cercle
κλίσις, -έως (ἡ) l'inclinaison
μέρος, -ους (τὸ) la partie
μῆκος, -ους (τὸ) la longueur
ὅρος, -ου (ὁ) la limite
πέρας, -άτος (τὸ) l'extrémité
πλατος, -ους (τὸ) la largeur
σημεῖον,  -ου (τὸ) le point
σχῆμα, -άτος (τὸ) la figure
ἀμβλύς, εῖα, ύ obtu
ἄπειρος, -α, -ον infini
ἀπλατής, ής, ές. large
ἐκβαλλόμενος, -η, -ον
ἐλάσσων, ων, ον (-ονος) moindre, plus petit
ἐπίπεδος, ος, ον plane
εὐθύγραμμος, ος, ον rectiligne
εὐθύς, εὐθεῖα, εὐθύ droit, droite
ἴσος, η, ον égal
μείζων, ων, ον (-ονος) plus grand
ὀξύς, εῖα, ύ aigu, pointu
ὁρθός, ή, όν droit (pour un angle)



ἀλλήλους, -ας, -α les uns les autres (pas de nominatif)
αὐτός, -ή, -ο : 1.  le, la , les , lui ;
2.Enclavé entre l'article et le nom = même
3. Avec un article = le même
ἑαυτός, -ή, -ο (ou αὑτός,  -ή, -ο) soi-même, se
δύο deux
εἷς, μιᾶ, ἑν (ἑνος, μιᾶς) un (numéral)
ἑκάτερος, -α, -ον chacun des deux
ἕτερός, -α, -ον autre
οὐδείς/οὐθείς, οὐδεμία, οὐδεν/οὐθεν aucun
τρεῖς trois
τις, τις, τι (τινος) quelqu'un, quelque chose/
un , une (indéfini)


ἀπολαμβανεται
ἁπτεται il/elle touche
ἐκβάλλεται/ονται : se jeter, s'élancer
κεῖται il/elle est/est étendu/repose
περιέχεται il/elle entoure
συμπίπτουσιν + datif = croiser
τέμνει il/elle coupe


D'Euclide à nos jours : un problème de vocabulaire...

De nos jours, nous employons des mots pour désigner des objets qui ne correspondent pas à ceux employés par Euclide.
Exemple :

La LIGNE d'Euclide correspond à notre LIGNE COURBE.

1 ) A quoi correspond de nos jours la LIGNE DROITE d'Euclide ?
2 ) A quoi correspond de nos jours la DROITE d'Euclide ?
3 ) A quoi correspond de nos jours le CERCLE d'Euclide ?
4 ) A quoi correspond de nos jours la CIRCONFERENCE d'Euclide ?
5 ) Qu'est-ce que la CIRCONFERENCE de nos jours ?
6 ) Quelle est la différence entre SURFACE et FIGURE selon Euclide ?
7 ) Qu'est-ce qu'une LIMITE selon Euclide ?
8 ) Indiquer une autre LIMITE non citée en tant que tel.
9 ) Implicitement, Euclide exclu deux types d'angles rectilignes dans sa définition 8, lesquels ?
10 ) Comment définir deux côtés parallèles avec le vocabulaire d'Euclide ?
11 ) Définir un parallélogramme uniquement à l'aide du vocabulaire d'Euclide.
12 ) Définir un rectangle avec le vocabulaire d'Euclide.
13 ) Définir un carré avec le vocabulaire d'Euclide.


Les pronoms-adjectifs
  • Indéfinis
Ne pas confondre τίς, τίς, τί le pronom interrogatif et  τις, τις, τι le pronom indéfini. Le premier a un accent sur la première syllabe, tandis que le pronom indéfini a l'accent sur la seconde syllabe...La déclinaison est rigoureusement identique pour le reste.
 τις, τις, τι se traduit par "on" , "quelqu'un" ou "quelque chose". Le masculin et le féminin sont rigoureusement identiques. En tant qu'adjectif, il se traduit, par "quelque" ou encore un, une (au sens de un quelconque).

  • Interrogatifs
τίς, τίς, τί signifie "qui" , "quel' . Selon le cas, on obtient évidemment des traductions différentes (duquel, de laquelle, auquel, à laquelle et cetera).
Il existe encore deux autres pronoms interrogatifs : πότερος, -ά, -όν qui signifie lequel des deux et ποῖος, -α, -ον qui signifie "quel"


Pronom Indéfini


Singulier
Pluriel
Singulier
Pluriel
CAS Masculin et féminin
Neutre
Masculin et féminin Neutre
Nominatif
τις
τι
τινές
τινά
Accusatif
τινά
τι
τινάς
τινά
Génitif
τινός
τινός
τινῶν
τινῶν
Datif
τινί
τινί
τισί
τισί

Pronom interrogatif



Singulier
Pluriel
Singulier
Pluriel
CAS Masculin et féminin
Neutre
Masculin et féminin Neutre
Nominatif
τίς
τί
τίνες
τίνα
Accusatif
τίνα
τί
τίνας
τίνα
Génitif
τίνος
τίνος
τίνων
τίνων
Datif
τίνι
τίνι
τίσι
τίσι



  • Relatifs
Il existe deux pronoms relatifs : ὅς, ἥ ὅ qui signifie "qui" et ὅστις, ἥτις, ὅ τι qui signifie "celui qui". Il est aisé d'en retenir la déclinaison puisqu'elle s'appuie pour le premier sur les désinences des déclinaisons thématique et athématique, et pour le second sur un composé des déclinaisons thématique et athématique, et la déclinaison de τις, τις, τι. Construisez vous-mêmes le tableau de ὅστις, ἥτις, ὅ τι à partir de ces dernières indications.

Cas Rel.Masc.Sg Rel.Masc.Pl Rel.Fém.Sg Rel.Fém.Pl Rel.Neutre.Sg Rel.Neutre.Pl
Nominatif ὅς οἵ αἵ
Vocatif N.A N.A N.A N.A N.A N.A
Accusatif ὅν οὕς ἥν ἅς
Génitif οὗ ὧν ἧς ὧν οὗ ὧν
Datif οἷς αἷς οἷς


  • Réciproque
On appelle ainsi le pronom ἀλλήλους, ἀλλήλων, ἀλλήλοις les uns les autres, les uns des autres, les uns aux autres. Bien sûr, ce pronom existe aussi au féminin et au neutre.



Euclide énonce le théorème de Thalès

Application de la théorie des proportions aux aires.

 Ὅμοια σχήματα εὐθύγραμμά ἐστιν, ὅσα τάς τε γωνίας ἴσας ἔχει κατὰ μίαν καὶ τὰς περὶ τὰς ἴσας γωνίας πλευρὰς ἀνάλογον.

κατὰ μίαν = un par un
ἀνάλογον = suivant le même rapport (dépend de ἔχει)
ἀναλόγος,-ος,-ον = proportionnel
πλευρά, -ᾶς (ἡ) = le côté
ὅσος, -η, -ον  : qui, ce qui (pronom relatif).

Application mathématique :

Les mesures de Thalès

ὁ δὲ Ἱερώνυμος καὶ ἐκμετρῆσαί φησιν* αὐτὸν τὰς πυραμύδας, ἐκ τῆς σκιᾶς παρατηρήσαντα** ὅτε ἡμῖν*** ἰσομεγέθης**** ἐστίν.
Diogène Laërce , Vies des hommes illustres , I,27

*Après les verbes d'affirmation, le grec utilise la proposition infinitive, c'est à dire un sujet à l'accusatif et un verbe à l'infinitif.
φησιν signifie "affirme"
*
*παρατηρήσαντα = ayant observé
***
ἡμῖν est le datif du pronom personnel "nous"
****ἰσομεγέθης est un adjectif au nominatif et signifie "égal en grandeur"

Thalès voulut un jour mesurer la hauteur de la pyramide de Cheops (l'une des sept merveilles du monde dans l'Antiquité). La tradition rapporte qu'il aurait utilisé un bâton, l'ombre de ce bâton et l'ombre de la pyramide. Il  fit son calcul au moment même où les rayons solaires étaient perpendiculaires à une face latérale ( ce qui était possible car les pyramides avaient une face plein sud. ) et où  l' ombre de la pyramide était égale à sa taille ( donc les rayons du soleil étaient inclinés de 45° ). Cet instant bien particulier n'est possible que deux fois l' an...

Réfléchissez bien et imaginez vous à la place de Thalès : comment s'y est-il pris, en appliquant son théorème (voir l'énoncé qu'en fait Euclide...) pour mesurer la hauteur de la pyramide ?

La solution se trouve sur le site Histoire des chiffres , mais les plus courageux, s'ils parviennent à traduire le fragment de Diogène Laërce ci-dessus, auront un indice non-négligeable pour comprendre comment Thalès s'y est pris....

Au delà de Thalès....

La Pyramide de Cheops


1 ) Calculer la hauteur des faces triangulaires grâce au théorème de  Pythagore.

2 ) Calculer les angles de la pyramide... avec un peu de trigonométrie.
3 ) Calculer les aire latérales et le volume de la pyramide...
4 ) Calculer l'angle d'incidence entre les rayons du soleil et la face sud...


Sur le site de l'académie d'Orléans on trouve la démonstration mathématique du théorème ainsi que des précisions à propos d'Euclide..

Partager

Imprimer cette page (impression du contenu de la page)